考试大纲知识点梳理, (1) 数学库常用函数

GESP C++七级考试大纲中共有4条考点，第1条考点要求我们熟练掌握数学库中的常用函数。在解决复杂的算法问题（如几何计算、概率统计、数值模拟）时，这些“轮子”能帮我们省去大量的造车时间。

（1）掌握数学库常用函数（三角、对数、指数），三角函数包括 sin(x)，cos(x)等；对数函数包括 log10(x)：返回 x 以 10 为底的对数，log2(x)：返回 x 以 2 为底的对数；指数函数包括 exp(x)：计算指数函数，返回 x 的以 e 为底的指数函数。 {: .prompt-info}

本人也是边学、边实验、边总结，且对考纲深度和广度的把握属于个人理解。因此本文更多的不是一个教程，而是个人知识梳理，如有遗漏、疏忽，欢迎指正、交流。 {: .prompt-warning}

在使用这些函数之前，别忘了引入头文件：

#include <cmath>
// 或者万能头文件
#include <bits/stdc++.h>

⚠️ 注意：<cmath> 中的函数参数和返回值通常都是 double 类型（浮点数）。在涉及整数运算时要小心精度丢失问题，或者显式进行类型转换。 {: .prompt-danger}

一、三角函数 (Trigonometric Functions)

三角函数是几何计算的基础。在 C++ 中，最需要注意的一点是：所有三角函数的参数都是“弧度制” (Radians)，而不是“角度制” (Degrees)。

1.1 常用函数表

函数	描述	数学公式
`sin(x)`	正弦函数	$\sin(x)$
`cos(x)`	余弦函数	$\cos(x)$
`tan(x)`	正切函数	$\tan(x)$
`asin(x)`	反正弦函数，返回弧度	$\arcsin(x)$
`acos(x)`	反余弦函数，返回弧度	$\arccos(x)$
`atan(x)`	反正切函数，返回弧度	$\arctan(x)$

1.2 角度与弧度的转换

考试中给出的题目往往是角度（例如 30°, 90°），直接传给 python sin(30) 是错的！必须先转为弧度。

公式：
$\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180}$
$\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$
$\pi$ (Pi) 的获取：建议使用 acos(-1.0) 来获取高精度的 $\pi$ 值。

1.3 代码示例

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip> // 用于 setprecision
using namespace std;

int main() {
    double pi = acos(-1.0); // 获取 pi
    double angle = 60.0;    // 60度
    
    // 错误示范：直接传角度
    cout << "sin(60) = " << sin(angle) << " (这是错的！)" << endl;
    
    // 正确示范：转弧度
    double radian = angle * (pi / 180.0);
    cout << "sin(60°) = " << sin(radian) << endl; // 应该是 0.866...
    cout << "cos(60°) = " << cos(radian) << endl; // 应该是 0.5
    
    return 0;
}

二、对数函数 (Logarithmic Functions)

对数在算法复杂度分析（如 $O(\log n)$ ）和处理大数运算时非常有用。

2.1 常用函数表

函数	描述	数学公式	备注
`log(x)`	自然对数，底数为 $e$	$\ln(x)$ 或 $\log_e(x)$	注意不是 $\log_{10}$
`log10(x)`	常用对数，底数为 10	$\lg(x)$ 或 $\log_{10}(x)$	考纲重点
`log2(x)`	二进制对数，底数为 2	$\log_2(x)$	考纲重点，常用于计算完全二叉树高度

💡 小贴士：如果需要计算任意底数 $a$ 的对数 $\log_a(b)$ ，可以使用换底公式：
$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \quad \Rightarrow \quad \text{code: } \texttt{log(b) / log(a)}$
{: .prompt-tip}

2.2 代码示例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double x = 100.0;
    
    cout << "log10(100) = " << log10(x) << endl; // 输出 2
    cout << "log2(8) = " << log2(8.0) << endl;   // 输出 3
    cout << "ln(e) = " << log(exp(1.0)) << endl; // 输出 1 (ln e = 1)
    
    return 0;
}

三、指数函数 (Exponential Functions)

指数函数与对数函数互为逆运算，常用于计算幂次、根号等。

3.1 常用函数表

函数	描述	数学公式
`exp(x)`	计算 $e$ 的 $x$ 次方	$e^x$
`pow(x, y)`	计算 $x$ 的 $y$ 次方	$x^y$
`sqrt(x)`	计算 $x$ 的平方根	$\sqrt{x}$

3.2 代码示例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    // 1. exp(x)
    cout << "e^1 = " << exp(1.0) << endl; // e 的近似值 2.71828...
    
    // 2. pow(x, y) - 极其常用
    cout << "2^10 = " << pow(2, 10) << endl; // 1024
    cout << "3^3 = " << pow(3, 3) << endl;   // 27
    
    // 3. sqrt(x)
    cout << "sqrt(16) = " << sqrt(16) << endl; // 4
    
    // 勾股定理示例: c = sqrt(a^2 + b^2)
    double a = 3.0, b = 4.0;
    double c = sqrt(pow(a, 2) + pow(b, 2));
    cout << "勾股数 3, 4 的斜边是: " << c << endl; // 5
    
    return 0;
}

四、备考总结 & 易错点

对于 GESP 七级考生，掌握这些函数的使用只是第一步，更重要的是在实际题目中灵活运用。

类型陷阱：如果不小心把整数传给某些数学函数，可能会发生隐式转换。虽然现代编译器很聪明，但建议养成操作 double 的习惯。尤其是 pow 函数，计算整数次幂时，如果是很大的整数，建议自己写快速幂算法，因为 double 类型的 pow 可能会有精度误差导致WA（例如 pow(5, 2) 算出 24.999999，转 int 变成 24）。
定义域错误：
- sqrt(x) 中 $x$ 不能为负数。
- log(x) 中 $x$ 必须大于 0。
- asin(x) / acos(x) 中 $x$ 必须在 $[-1, 1]$ 之间。
- 这些错误通常会导致程序返回 NaN (Not a Number) 或运行时错误。
$\pi$ 的写法：acos(-1.0) 是最稳健的写法，不要手打 3.1415926，容易抄错且精度不够。

掌握了这些数学工具，你就在通往高级算法（如计算几何）的路上迈出了坚实的一步！

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最后更新于 2026年1月5日

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