202606-排排坐(luogu-P17010)

GESP C++五级2026年6月真题。本题考查排序与贪心策略，需要分析每个位置对总糖果数的贡献系数，从而确定最优排列方式。难度⭐⭐。本题在洛谷评定为普及-。

luogu-P17010 [GESP202606 五级] 排排坐

题目要求

题目描述

老师正在和小朋友们分糖果。

小朋友们先在自己的手上写一个数字，然后坐成一排。

老师分发糖果的规则是：每个小朋友获得自己以及左侧所有小朋友的手上数字之和个糖果。

现在小朋友们都已经在自己手上写上了数字。

请帮小朋友们安排合适的座位顺序，使得小朋友们分到的糖果总量最大，输出这个最大值。

输入格式

输入 $2$ 行，

第一行为一个正整数 $n$，表示小朋友的个数；

第二行为 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，表示小朋友们手上的数字，整数之间以空格分隔。

输出格式

输出一个整数，表示小朋友们可能分到的最大糖果总数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
7 5 8 9 3

输出 #1

111

说明/提示

小朋友安排座位后从左向右每人手上数字依次是：$9, 8, 7, 5, 3$。

这时可以得到最多的糖果：$(9) + (9 + 8) + (9 + 8 + 7) + (9 + 8 + 7 + 5) + (9 + 8 + 7 + 5 + 3) = 111$。

数据范围

$1 \le n \le 1000$，$1 \le a_i \le 1000$。

题目分析

本题表面上是排列问题，但通过数学推导可以转化为一个经典的贪心问题。

1. 推导每个位置的贡献

假设小朋友们从左到右排列为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，则每个小朋友获得的糖果数为该位置的前缀和：

• 第 $1$ 个小朋友得到：$a_1$
• 第 $2$ 个小朋友得到：$a_1 + a_2$
• 第 $3$ 个小朋友得到：$a_1 + a_2 + a_3$
• $\cdots$
• 第 $n$ 个小朋友得到：$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

将所有糖果加在一起，统计每个 $a_i$ 在总和中出现了多少次：

• $a_1$ 出现在第 $1, 2, 3, \cdots, n$ 个小朋友的糖果中，共 $n$ 次
• $a_2$ 出现在第 $2, 3, \cdots, n$ 个小朋友的糖果中，共 $n - 1$ 次
• $a_i$ 出现在第 $i, i+1, \cdots, n$ 个小朋友的糖果中，共 $n - i + 1$ 次

因此，糖果总量为：

即位置 $i$（从左到右，$1$ 开始编号）的贡献系数为 $n - i + 1$。

2. 贪心策略

由上述公式可知，越靠左的位置贡献系数越大（$n, n-1, \cdots, 1$）。为了使总和最大，根据排序不等式（或直觉：大数配大系数），应将数字从大到小排列。

即将最大的数字放在最左边（系数 $n$），次大的放第二个位置（系数 $n-1$），以此类推。

3. 样例验证

数字 $7, 5, 8, 9, 3$ 降序排列为 $9, 8, 7, 5, 3$，总糖果数为：

与样例输出一致。

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：排序 $O(n \log n)$，求和 $O(n)$，总体 $O(n \log n)$
• 空间复杂度：存储数组 $O(n)$

5. 注意事项

• 数据范围 $n \le 1000$，$a_i \le 1000$，最大总和约为 $1000 \times 1000 \times 1000 = 10^9$，需要使用 long long 类型存储结果，避免 int 溢出

示例代码

将数字降序排列后，按位置乘以对应的贡献系数累加即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;

    int a[1005];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> a[i];
    }

    // 降序排列：让最大的数字排在最左边，获得最大的贡献系数
    std::sort(a, a + n, std::greater<int>());

    // 计算糖果总量
    // 排序后 a[0] 是最大值，位于第 1 个位置，贡献系数为 n
    // a[1] 位于第 2 个位置，贡献系数为 n - 1
    // a[i] 位于第 i+1 个位置，贡献系数为 n - i
    long long total = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        total += (long long)(n - i) * a[i];
    }

    std::cout << total << std::endl;
    return 0;
}

本文由coderli.com原创，按照CC BY-NC-SA 4.0 进行授权

所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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