luogu-B3869 [GESP202309 四级] 进制转换

GESP C++四级2023年9月真题，函数、进制转换等应用，难度⭐⭐★☆☆。本题在洛谷评定为普及-。

luogu-B3869 [GESP202309 四级] 进制转换

题目要求

题目描述

$N$ 进制数指的是逢 $N$ 进一的计数制。例如，人们日常生活中大多使用十进制计数，而计算机底层则一般使用二进制。除此之外，八进制和十六进制在一些场合也是常用的计数制（十六进制中，一般使用字母 A 至 F 表示十至十五；本题中，十一进制到十五进制也是类似的）。

在本题中，我们将给出 $N$ 个不同进制的数。你需要分别把它们转换成十进制数。

输入格式

输入的第一行为一个十进制表示的整数 $N$。接下来 $N$ 行，每行一个整数 $K$，随后是一个空格，紧接着是一个 $K$ 进制数，表示需要转换的数。保证所有 $K$ 进制数均由数字和大写字母组成，且不以 $0$ 开头。保证 $K$ 进制数合法。

保证 $N \le 1000$；保证 $2 \le K \le 16$。

保证所有 $K$ 进制数的位数不超过 $9$。

输出格式

输出 $N$ 行，每一个十进制数，表示对应 $K$ 进制数的十进制数值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
8 1362
16 3F0

输出 #1

754
1008

输入输出样例 #2

输入 #2

2
2 11011
10 123456789

输出 #2

27
123456789

说明/提示

对于任意一个 $L$ 位 $K$ 进制数，假设其最右边的数位为第 $0$ 位，最左边的数位为第 $L-1$ 位，我们只需要将其第 $i$ 位的数码乘以权值 $K^i$，再将每位的结果相加，即可得到原 $K$ 进制数对应的十进制数。下面是两个例子：

1. 八进制数 1362 对应的十进制数为：$1×8^3+3×8^2+6×8^1+2×8^0=754$；

2. 十六进制数 3F0 对应的十进制数为：$3×16^2+15×16^1+0×16^0=1008$。

题目分析

本题主要考察了进制转换和字符串处理的能力。解题思路如下：

核心思路

题目要求将不同进制的数转换为十进制数。对于任意一个K进制数，我们可以：

1. 从右向左遍历每一位数字
2. 将每一位的数值乘以对应的权重(K的幂次)
3. 将所有位的结果相加得到最终的十进制数

实现要点

1. 字符处理：使用字符串存储输入的$K$进制数，从右向左遍历每一位字符。

   • 数字字符$('0'-'9')$需要减去$'0'$得到实际数值
   • 字母字符$('A'-'F')$需要减去$'A'$后加$10$得到实际数值$(10-15)$

2. 权重计算：按照位权展开公式计算每一位的权重。

   • 第$i$位的权重为$K^i$ ($i$从右向左从$0$开始计数)
   • 可以使用$pow$函数计算幂次

3. 数据范围

   • 进制$K$的范围是$[2,16]$
   • 输入数字最多$9$位
   • 需要使用$long\ long$类型存储结果防止溢出

算法复杂度

• 时间复杂度: $O(L)$，其中L为输入数字的位数

  • 需要遍历输入数字的每一位
  • 每位的计算(包括幂运算)是常数时间

• 空间复杂度: $O(1)$

  • 只需要常数个变量存储中间结果和最终结果

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示例代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>

/**
 * 将K进制字符串转换为十进制数
 * @param s K进制字符串，仅包含数字0-9和大写字母A-F
 * @param k 进制基数，范围2-16
 * @return 转换后的十进制数
 */
long long trans_to_decimal(const std::string& s, const int k) {
    // 存储转换后的十进制结果
    long long decimal = 0;
    
    // 从右向左遍历字符串的每一位
    for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
        // 如果当前字符是数字
        if (s[i] >= '0' && s[i] <= '9') {
            // 将数字字符转换为对应的数值并乘以权重
            decimal += (s[i] - '0') * std::pow(k, s.length() - i - 1);
        } else {
            // 如果是字母(A-F)，将其转换为对应的数值(10-15)并乘以权重
            decimal += (s[i] - 'A' + 10) * pow(k, s.length() - i - 1);
        }
    }
    return decimal;
}

int main() {
    // 读取需要转换的数字个数
    int n;
    std::cin >> n;

    // 处理每个输入的K进制数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int k;          // 进制基数
        std::string s;  // K进制字符串
        std::cin >> k >> s;
        // 输出转换后的十进制结果
        std::cout << trans_to_decimal(s, k) << "\n";
    }
    return 0;
}

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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