(2) 数据的进制转换

GESP C++三级官方考试大纲中，共有8条考点，本文针对C++（2）号知识点进行总结梳理。

（2）掌握数据的进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制。

计算机中的数据以不同的进制表示。以下是对二进制、八进制、十进制和十六进制的详细介绍及其相互转换的方法。

一、各进制的定义与特点

(一) 二进制（Binary）

• 基数： 2
• 符号： 0 和 1
• 特点：
  • 是计算机系统的基础语言。
  • 易于通过物理电路（高低电平）实现。
• 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(2^n)$ ($n$从$0$开始)。

示例： 二进制数 1011 表示 $(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11)$（十进制）。

(二) 八进制（Octal）

• 基数： 8
• 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• 特点：
  • 是二进制的简化表示，每3个二进制位对应1个八进制位。
• 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(8^n)$ ($n$从$0$开始)。

示例： 八进制数 17 表示 $(1 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 15)$（十进制）。

(三) 十进制（Decimal）

• 基数： 10
• 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 特点：
  • 是人类日常使用的数字系统。
  • 对应权值为 $(10^n)$。

示例： 十进制数 156 表示 $(1 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 10^0 = 156)$。

(四) 十六进制（Hexadecimal）

• 基数： 16
• 符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F（A~F 对应 10~15）
• 特点：
  • 是二进制的简化表示，每4个二进制位对应1个十六进制位。
• 权值分布： 从右到左，每一位的权值为 $(16^n)$ ($n$从$0$开始)。

示例： 十六进制数 1F 表示 $(1 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 31)$（十进制）。

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二、 进制之间的转换

（一） 二进制与十进制转换

• 二进制转十进制：

  • 按位展开，乘以对应的 $(2^n)$，求和。
  • 示例：1011 转十进制
    $(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11)$。

• 十进制转二进制：

  • 使用“除2取余法”，逆序排列余数。
  • 示例：$(11)$ 转二进制
    $(11 \div 2 = 5)$ 余 $(1)$
    $(5 \div 2 = 2)$ 余 $(1)$
    $(2 \div 2 = 1)$ 余 $(0)$
    $(1 \div 2 = 0)$ 余 $(1)$，结果：1011。

(二) 二进制与八进制转换

• 二进制转八进制：

  • 每3位一组（从右到左），不足补0，按组计算。
  • 示例：110101 转八进制
    分组：110 101，分别计算：6 和 5，结果：65。

• 八进制转二进制：

  • 每个八进制位转换为3位二进制。
  • 示例：65 转二进制
    6 转二进制为 110，5 转二进制为 101，结果：110101。

（三） 二进制与十六进制转换

• 二进制转十六进制：

  • 每4位一组（从右到左），不足补0，按组计算。
  • 示例：11010111 转十六进制
    分组：1101 0111，分别计算：D 和 7，结果：D7。

• 十六进制转二进制：

  • 每个十六进制位转换为4位二进制。
  • 示例：D7 转二进制
    D 转二进制为 1101，7 转二进制为 0111，结果：11010111。

(四) 十进制与八进制转换

• 十进制转八进制：

  • 使用“除8取余法”，逆序排列余数。
  • 示例：$(156)$ 转八进制
    $(156 \div 8 = 19)$ 余 $(4)$
    $(19 \div 8 = 2)$ 余 $(3)$
    $(2 \div 8 = 0)$ 余 $(2)$，结果：234。

• 八进制转十进制：

  • 按位展开，乘以对应的 $(8^n)$，求和。
  • 示例：234 转十进制
    $(2 \times 8^2 + 3 \times 8^1 + 4 \times 8^0 = 156)$。

(五) 十进制与十六进制转换

• 十进制转十六进制：

  • 使用“除16取余法”，逆序排列余数。
  • 示例：$(254)$ 转十六进制
    $(254 \div 16 = 15)$ 余 $(14 (E))$
    $(15 \div 16 = 0)$ 余 $(15 (F))$，结果：FE。

• 十六进制转十进制：

  • 按位展开，乘以对应的 $(16^n)$，求和。
  • 示例：FE 转十进制
    $(15 \times 16^1 + 14 \times 16^0 = 254)$。

(六) 八进制与十六进制转换

• 八进制转十六进制：

  • 先将八进制转换为二进制，再将二进制转换为十六进制。
  • 示例：65（八进制） → 110101（二进制） → 35（十六进制）。

• 十六进制转八进制：

  • 先将十六进制转换为二进制，再将二进制转换为八进制。
  • 示例：2F（十六进制） → 00101111（二进制） → 57（八进制）。

三、总结

这些进制之间的转换是计算机科学中的基础知识，广泛用于计算机编程、网络通信和硬件设计等领域。

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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