luogu-P1161 开灯

GESP C++三级练习，一维数组练习，难度★★☆☆☆。

luogu-P1161 开灯

题目要求

题目描述

在一条无限长的路上，有一排无限长的路灯，编号为 $1,2,3,4,\dots$。

每一盏灯只有两种可能的状态，开或者关。如果按一下某一盏灯的开关，那么这盏灯的状态将发生改变。如果原来是开，将变成关。如果原来是关，将变成开。

在刚开始的时候，所有的灯都是关的。小明每次可以进行如下的操作：

指定两个数，$a,t$（$a$ 为实数，$t$ 为正整数）。将编号为 $\lfloor a\rfloor,\lfloor 2 \times a\rfloor,\lfloor3 \times a\rfloor,\dots,\lfloor t \times a\rfloor$ 的灯的开关各按一次。其中 $\lfloor k \rfloor$ 表示实数 $k$ 的整数部分。

在小明进行了 $n$ 次操作后，小明突然发现，这个时候只有一盏灯是开的，小明很想知道这盏灯的编号，可是这盏灯离小明太远了，小明看不清编号是多少。

幸好，小明还记得之前的 $n$ 次操作。于是小明找到了你，你能帮他计算出这盏开着的灯的编号吗？

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示 $n$ 次操作。

接下来有 $n$ 行，每行两个数，$a_i,t_i$。其中 $a_i$ 是实数，小数点后一定有 $6$ 位，$t_i$ 是正整数。

输出格式

仅一个正整数，那盏开着的灯的编号。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1.618034 13
2.618034 7
1.000000 21

输出 #1

20

说明/提示

记 $T=\sum \limits_{i=1}^n t_i = t_1+t_2+t_3+\dots+t_n$。

• 对于 $30\%$ 的数据，满足 $T \le 1000$；
• 对于 $80\%$ 的数据，满足 $T \le 200000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，满足 $T \le 2000000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，满足 $n \le 5000$，$1 \le a_i<1000$，$1 \le t_i \le T$。

数据保证，在经过 $n$ 次操作后，有且只有一盏灯是开的，不必判错。而且对于所有的 $i$ 来说，$t_i\times a_i$ 的最大值不超过 $2000000$。

题目分析

解题思路

本题的解题思路如下：

1. 问题本质：

   • 给定一系列操作，每次操作会按指定规则改变一些灯的状态
   • 每个操作包含两个参数：实数 $a$ 和正整数 $t$
   • 每次操作会改变编号为 $\lfloor a \rfloor$, $\lfloor 2 \times a \rfloor$, …, $\lfloor t \times a \rfloor$ 的灯的状态
   • 最终只有一盏灯是亮着的，需要找出这盏灯的编号

2. 解题关键：

   • 核心思路 - 状态模拟：
     1. 使用数组记录每盏灯的状态：
        • 创建一个足够大的数组 $array$（根据题目提示 $2000005$ 大小足够）
        • $0$ 表示灯是关闭的，$1$ 表示灯是打开的
     2. 模拟每次操作：
        • 对于每次操作的参数 $a$ 和 $t$
        • 计算需要改变状态的灯的编号：$\lfloor i \times a \rfloor$ ($i$ 从 $1$ 到 $t$)
        • 使用异或操作($\oplus 1$)切换对应灯的状态
     3. 最后遍历数组，找到值为 $1$ 的位置，即为答案

3. 复杂度分析：

   • 时间复杂度：$O(n \times t_{max})$，其中n为操作次数，t_max为单次操作最大次数
   • 空间复杂度：$O(2000005)$，需要一个固定大小的数组存储灯的状态

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示例代码

#include <iostream>

// 用于存储每个灯的状态的数组，0表示关闭，1表示打开
int array[2000005];
int main() {
    // n表示操作次数
    int n;
    std::cin >> n;
    // 循环处理每次操作
    for (int i=0; i < n; i++) {
        // a为实数倍数，t为操作次数上限
        double a;
        int t;
        std::cin >> a >> t;
        // 对于每次操作，计算需要改变状态的灯的编号
        for (int j = 1; j <=t; j++) {
            // 计算当前需要改变状态的灯的编号
            int idx = a * j;
            // 使用异或操作切换灯的状态（0变1，1变0）
            array[idx] ^= 1;
        }
    }
    // 遍历所有可能的灯，找出唯一一个打开的灯
    for (int i=0; i < 2000005; i++) {
        // 如果找到值为1的位置，说明这盏灯是打开的
        if (array[i] == 1) {
            std::cout << i << " ";
        }
    }
    return 0;
}             

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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