202509-数组清零(B4413)

GESP C++ 2025年9月三级真题，一维数组考点，难度★★☆☆☆。

luogu-B4413 [GESP202509 三级] 数组清零

题目要求

题目描述

小 A 有一个由 $n$ 个非负整数构成的数组 $a = [a_1, a_2, \ldots, a_n]$。他会对阵组 $a$ 重复进行以下操作，直到数组 $a$ 只包含 0。在一次操作中，小 A 会依次完成以下三个步骤：

1. 在数组 $a$ 中找到最大的整数，记其下标为 $k$。如果有多个最大值，那么选择其中下标最大的。
2. 从数组 $a$ 所有不为零的整数中找到最小的整数 $a_j$。
3. 将第一步找出的 $a_k$ 减去 $a_j$。

例如，数组 $a = [2, 3, 4]$ 需要 7 次操作变成 $[0, 0, 0]$：

$$>[2, 3, 4] \rightarrow [2, 3, 2] \rightarrow [2, 1, 2] \rightarrow [2, 1, 1] \rightarrow [1, 1, 1] \rightarrow [1, 1, 0] \rightarrow [1, 0, 0] \rightarrow [0, 0, 0] >$$

小 A 想知道，对于给定的数组 $a$，需要多少次操作才能使得 $a$ 中的整数全部变成 0。可以证明，$a$ 中整数必然可以在有限次操作后全部变成 0。你能帮他计算出答案吗？

输入格式

第一行，一个正整数 $n$，表示数组 $a$ 的长度。

第二行，$n$ 个非负整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，表示数组 $a$ 中的整数。

输出格式

一行，一个正整数，表示 $a$ 中整数全部变成 0 所需要的操作次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
2 3 4

输出 #1

7

输入输出样例 #2

输入 #2

5
1 3 2 2 5

输出 #2

13

说明/提示

对于所有测试点，保证 $1 \leq n \leq 100$，$0 \leq a_i \leq 100$。

题目分析

1. 模拟过程

按题意循环三步：

• 找最大非零下标（最右优先）；
• 在非零元素里找最小值；
• 把最大值减去该最小值，计数+1。
• 当数组全零时结束。

2. 复杂度分析
   每轮扫描需要 $O(n)$ 时间，最坏情况下总操作次数不超过 $\sum a_i \le 10^4$（每次至少把当前最大值减1，总共需要元素和次），$n\le 100$，整体复杂度 $O(n\cdot\sum a_i)\approx 10^6$，在题目约束下完全可行。

示例代码

#include <iostream>

int num_ary[105]; // 存放数组，最多100个元素
int main() {
    int n;
    std::cin >> n; // 读入数组长度
    int count = 0; // 记录操作次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> num_ary[i]; // 读入数组元素
    }
    bool flag = false; // 标记数组是否全为0
    while (true) {
        flag = true; // 假设已全部清零
        int min = 101; // 初始化最小值（大于题设上限100）
        int max = 0;   // 初始化最大值
        int max_idx = -1; // 最大值下标
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (num_ary[i] != 0) {
                flag = false; // 发现非零，未清零
            } else {
                continue; // 零元素跳过
            }
            // 更新非零最小值
            if (num_ary[i] < min && num_ary[i] != 0) {
                min = num_ary[i];
            }
            // 更新最大值及其下标（取最右）
            if (num_ary[i] >= max) {
                max = num_ary[i];
                max_idx = i;
            }
        }
        if (flag) {
            break; // 全部清零，退出循环
        }
        // 将最大元素减去最小元素
        num_ary[max_idx] -= min;
        count++; // 操作次数+1
    }

    std::cout << count << std::endl; // 输出总操作次数
    return 0;
}

本文由coderli.com原创，按照CC BY-NC-SA 4.0 进行授权

所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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