luogu-P1720 月落乌啼算钱（斐波那契数列）

GESP二级练习，数学函数练习，难度★☆☆☆☆。

luogu-P1720 月落乌啼算钱（斐波那契数列）

题目要求

题目描述

算完钱后，月落乌啼想着：“你坑我！”于是当爱与愁大神问多少钱时，月落乌啼说了一堆乱码。爱与愁大神说：“算了算了，我只问第 $n$ 样菜价格多少？”月落乌啼写出了：

$$F_n=\dfrac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$$

由于爱与愁大神学过编程，于是就用 $1$ 分钟的时间求出了 $F_n$ 的结果。月落乌啼为此大吃一惊。你能学学爱与愁大神求出 $F_n$ 的值吗？

输入格式

一行一个自然数 $n$。

输出格式

只有 $1$ 行一个实数 $F_n$，保留两位小数。

输入 #1

6

输出 #1

8.00

说明/提示

对于所有数据：$0 \leq n\leq 48$。

题目分析

解题思路

1. 首先，我们需要理解题目的核心要求：

   • 输入一个自然数 n
   • 计算斐波那契数列的第 n 项
   • 结果需要保留两位小数

2. 解题思路：

   • 基本方法：
     • 使用斐波那契数列的通项公式直接计算
     • 公式：$F_n=\dfrac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$
   • 实现步骤：
     • 获取输入的自然数 n
     • 计算公式中的两个幂次项
     • 将结果相减后除以根号5
     • 按要求格式化输出
   • 优化考虑：
     • 使用 double 类型保证计算精度
     • 使用 cmath 库中的 pow 和 sqrt 函数进行计算
   • 时间复杂度：
     • O(1)，使用通项公式可以直接计算结果
   • 特殊情况：
     • 由题目限制条件可知，0 ≤ n ≤ 48，不需要考虑过大数值的情况

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示例代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;
int main() {
    // 读取输入的n
    int n;
    cin >> n;
    
    // 计算斐波那契数列通项公式中的第一项：(1+√5)/2的n次方
    double u = pow(((1 + sqrt(5)) / 2), n);
    
    // 计算斐波那契数列通项公式中的第二项：(1-√5)/2的n次方
    double y = pow(((1 - sqrt(5)) / 2), n);
    
    // 计算最终结果：两项之差除以√5
    double fn = (u - y) / sqrt(5);
    
    // 按照题目要求输出保留两位小数的结果
    printf("%.2f", fn);
    return 0;
}

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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