luogu-B3735 [信息与未来 2018] 圣诞树

GESP二级练习，一道数学小题，难度★☆☆☆☆。

luogu-B3735 [信息与未来 2018] 圣诞树

题目要求

题目描述

圣诞树共有 $n$ 层，从上向下数第 $1$ 层有 $1$ 个星星、第 $2$ 层有 $2$ 个星星、以此类推，排列成下图所示的形状。

星星和星星之间用绳子连接。第 $1,2,\cdots, n - 1$ 层的每个星星都向下一层最近的两个星星连一段绳子，最后一层的相邻星星之间连一段绳子。

你能算出如果要布置一棵很大（$n$ 层）的圣诞树，需要买多少段绳子吗？

输入格式

输入一行一个整数 $n$，圣诞树的层数。

输出格式

输出一行一个整数，代表圣诞树中绳子的段数。

输入 #1

2

输出 #1

3

输入 #2

4

输出 #2

15

数据规模

所有数据满足 $1 ≤ n ≤ 10^3$。

本题原始满分为 $15\text{pts}$。

题目分析

解题思路

1. 首先，我们需要理解题目的核心要求：

   • 圣诞树有n层结构
   • 第i层有i个星星
   • 星星之间用绳子连接：
     • 每层的星星都与下一层最近的两个星星相连
     • 最后一层相邻星星之间也要连接

2. 解题思路：

   • 分析绳子的构成：
     • 垂直连接的绳子：每层星星向下连接
     • 水平连接的绳子：最后一层星星之间的连接
   • 计算方法：
     • 垂直连接：
       • 第i层每个星星向下连接2根绳子
       • 除最后一层外的所有层都需要向下连接
     • 水平连接：
       • 最后一层相邻星星之间的连接
       • 需要n-1根绳子
   • 数学公式：
     • 垂直连接绳子数 = (2 + (n-1)2)(n-1)/2
     • 水平连接绳子数 = n-1
     • 总绳子数 = 垂直连接 + 水平连接
   • 特殊情况：
     • n=1时不需要绳子=1时不需要绳子

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示例代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    // 定义变量n用于存储圣诞树的层数
    int n;
    // 从标准输入读取层数
    cin >> n;
    // 定义变量ans用于存储所需绳子的总段数
    int ans = 0;
    // 如果只有一层，不需要绳子
    if (n == 1) {
        ans = 0;
    } else {
        // 计算所需绳子总段数
        // 每层向下连接的绳子数：(2 + (n-1)*2)*(n-1)/2
        // 最后一层相邻星星之间的绳子数：(n-1)
        ans = (2 + (n - 1) * 2) * (n - 1) / 2 + (n - 1);
    }
    // 输出结果
    cout << ans;
    return 0;
}

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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