luogu-B4356 [GESP202506 二级] 数三角形

GESP C++二级，2025年6月真题，多重循环，难度★✮☆☆☆。

luogu-B4356 [GESP202506 二级] 数三角形

题目要求

题目描述

直角三角形有两条直角边与一条斜边，设两条直角边的长度分别为 $a, b$，则直角三角形的面积为 $\frac{ab}{2}$。

请你计算当直角边长 $a, b$ 均取不超过 $n$ 的正整数时，有多少个不同的面积为整数的直角三角形。直角边长分别为 $a, b$ 和 $a', b'$ 的两个直角三角形相同，当且仅当 $a = a'$, $b = b'$ 或者 $a = b'$, $b = a'$。

输入格式

一行，一个整数 $n$，表示直角边长的最大值。

输出格式

输出一行，一个整数，表示不同的直角三角形数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

3

输入输出样例 #2

输入 #2

5

输出 #2

9

说明/提示

对于所有测试点，保证 $1 \leq n \leq 1000$。

题目分析

解题思路

本题的解题思路如下：

1. 问题本质：

   • 输入一个整数 $n$，表示直角边长的最大值
   • 需要计算有多少个不同的、面积为整数的直角三角形

2. 解题关键：

   • 核心思路 - 枚举与计数：
     1. 遍历所有可能的直角边长组合：
        • 第一条边 $a$ 的范围是 $[1,n]$
        • 第二条边 $b$ 的范围是 $[a,n]$（从 $a$ 开始避免重复计数）
     2. 判断面积是否为整数：
        • 面积公式：$\frac{a \times b}{2}$
        • 当且仅当 $a \times b$ 为偶数时，面积为整数

3. 复杂度分析：

   • 时间复杂度：$O(n^2)$，需要双重循环遍历所有可能的边长组合
   • 空间复杂度：$O(1)$，只需要存储几个整数变量

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示例代码

#include <iostream>

int main() {
    // 读入直角边长的最大值n
    int n;
    std::cin >> n;
    
    // 计数器，记录满足条件的直角三角形数量
    int count = 0;
    
    // 遍历所有可能的直角边长组合
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // j从i开始避免重复计数
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            // 判断面积是否为整数：面积 = (i*j)/2
            if (i * j % 2 == 0) {
                count++;
            }
        }
    }
    
    // 输出结果
    std::cout << count << std::endl;
    return 0;
}         

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所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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