2021真题 | 插入排序 luogu-P7910

CSP-J 2021真题-插入排序，模拟与排序考点，重点考察对插入排序稳定性的理解以及增量更新排名的优化能力，适合GESP四-六级及以上考生练习，难度⭐⭐⭐，洛谷难度等级普及/提高−。

P7910 [CSP-J 2021] 插入排序

题目要求

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = i; j >= 2; j--)
		if (a[j] < a[j-1]) {
			int t = a[j-1];
			a[j-1] = a[j];
			a[j] = t;
		}

这下面是 Pascal 的示范代码：

for i:=1 to n do
	for j:=i downto 2 do
		if a[j]<a[j-1] then
			begin
				t:=a[i];
				a[i]:=a[j];
				a[j]:=t;
			end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

$1~x~v$：这是第一种操作，会将 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$ 的值，修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$，$1 \le v \le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

$2~x$：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。

接下来 $Q$ 行，每行 $2 \sim 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出 #1

1
1
2

说明/提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。

注意虽然此时 $a_2 = a_3$，但是我们不能将其视为相同的元素。

【样例 #2】

见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 $1 \sim 2$。

【样例 #3】

见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 $3 \sim 7$。

【样例 #4】

见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 $12 \sim 14$。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 $1 \le n \le 8000$，$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$，$1 \le x \le n$，$1 \le v,a_i \le 10^9$。

对于所有测试数据，保证在所有 $Q$ 次操作中，至多有 $5000$ 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

附件：sort.zip

题目分析

本题基于插入排序算法构造了一个带修改的排名查询问题。需要在理解插入排序行为的基础上，设计一套高效的排名预计算与增量更新机制。

1. 理解插入排序的稳定性

观察伪代码中的交换条件 if (a[j] < a[j-1])，只在严格小于时才交换，值相等时不交换。这是稳定排序的特征：值相同的元素保持原始下标的先后顺序。因此，排序后元素的位置完全由排序关键字 $(a_i, i)$ 决定——先按值升序，值相同时按原始下标升序。

2. 将排名转化为计数

元素 $a_x$ 排序后的位置等于"排在它前面的元素个数" $+ 1$。元素 $j$ 排在 $x$ 前面，当且仅当 $a_j < a_x$，或 $a_j = a_x$ 且 $j < x$。公式表示为：

3. 预计算初始排名

读入数组后，对每个元素遍历整个数组统计排在它前面的元素数量，即可得到初始排名数组。时间复杂度 $O(n^2)$，对于 $n \le 8000$ 完全可以接受。

4. 修改操作的增量更新

执行操作 1 x v 时，只有 $a_x$ 的值发生了变化。对其他元素 $i$ 的排名影响是局部的——只取决于 $i$ 和 $x$ 之间的相对排序关系是否因修改而改变。对于每个 $i \ne x$，比较修改前后 $x$ 是否排在 $i$ 前面：

• 如果 $x$ 从"排在 $i$ 前面"变为"不在前面"：$\text{rank}(i)$ 减 $1$。
• 如果 $x$ 从"不在 $i$ 前面"变为"排在前面"：$\text{rank}(i)$ 加 $1$。

最后单独重新计算 $\text{rank}(x)$ 本身。每次修改操作时间复杂度 $O(n)$，不能对所有元素都用 $O(n)$ 的完整重算方式（那样每次修改将变成 $O(n^2)$，总计 $5000 \times 8000^2 = 3.2 \times 10^{11}$，会超时）。

5. 查询与总体复杂度

排名数组始终维护最新状态，查询操作只需 $O(1)$ 直接输出。总体时间复杂度：初始化 $O(n^2)$ + 修改 $O(5000 \times n)$ + 查询 $O(Q)$，约为 $O(n^2 + Q)$，完全在题目限制内。

示例代码

#include <iostream>

int main() {
    int n, Q;
    std::cin >> n >> Q;

    int a[8001];       // 原始数组，下标从 1 开始
    int rnk[8001];     // rnk[i] 表示 a[i] 在插入排序后的位置（排名）

    // 读入初始数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        std::cin >> a[i];
    }

    // 预计算初始排名
    // rnk[i] = 1 + 所有"排在 i 前面"的元素个数
    // 元素 j 排在 i 前面的条件：a[j] < a[i]，或 a[j] == a[i] 且 j < i
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        rnk[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j == i) {
                continue;
            }
            if (a[j] < a[i] || (a[j] == a[i] && j < i)) {
                rnk[i]++;
            }
        }
    }

    // 处理 Q 次操作
    while (Q--) {
        int op;
        std::cin >> op;

        if (op == 1) {
            // 修改操作：将 a[x] 改为 v
            int x, v;
            std::cin >> x >> v;
            int old_val = a[x]; // 记录修改前的旧值
            a[x] = v;           // 执行修改

            // 增量更新其他元素的排名
            // 逐一检查每个元素 i 与 x 的相对顺序是否因修改而改变
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (i == x) {
                    continue;
                }

                // 修改前，x 是否排在 i 前面？
                bool old_x_before_i = (old_val < a[i]) || (old_val == a[i] && x < i);
                // 修改后，x 是否排在 i 前面？
                bool new_x_before_i = (v < a[i]) || (v == a[i] && x < i);

                if (old_x_before_i && !new_x_before_i) {
                    // x 原来排在 i 前面，现在不再排在前面
                    // i 前面少了一个元素，排名前移 1 位
                    rnk[i]--;
                } else if (!old_x_before_i && new_x_before_i) {
                    // x 原来不排在 i 前面，现在排到了前面
                    // i 前面多了一个元素，排名后移 1 位
                    rnk[i]++;
                }
            }

            // 重新计算 x 自身的排名
            rnk[x] = 1;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (j == x) {
                    continue;
                }
                if (a[j] < a[x] || (a[j] == a[x] && j < x)) {
                    rnk[x]++;
                }
            }
        } else {
            // 查询操作：输出 a[x] 排序后所处的位置
            int x;
            std::cin >> x;
            std::cout << rnk[x] << "\n";
        }
    }

    return 0;
}

本文由coderli.com原创，按照CC BY-NC-SA 4.0 进行授权

所有代码已上传至Github：https://github.com/lihongzheshuai/yummy-code

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